Algoritmo de optimización cebra estadounidense para problemas de optimización global

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 5211 (2023) Citar este artículo

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En este estudio se propone un novedoso algoritmo metaheurístico bioinspirado, a saber, el algoritmo de optimización de cebra americana (AZOA), que imita el comportamiento social de las cebras americanas en la naturaleza. Las cebras americanas se distinguen de otros mamíferos por su carácter social distintivo y fascinante y por su ejercicio de liderazgo, que obliga a las cebras bebés a abandonar la manada antes de la madurez y unirse a una manada separada sin vínculos familiares. Esta partida de la cebra bebé fomenta la diversificación al evitar el apareamiento intrafamiliar. Además, la convergencia está asegurada por el ejercicio de liderazgo en las cebras americanas, que dirige la velocidad y la dirección del grupo. Este comportamiento de estilo de vida social de las cebras americanas es de naturaleza indígena y es la principal inspiración para proponer el algoritmo metaheurístico AZOA. Para examinar la eficiencia del algoritmo AZOA, se consideran las funciones de referencia CEC-2005, CEC-2017 y CEC-2019 y se comparan con varios algoritmos metaheurísticos de última generación. Los resultados experimentales y el análisis estadístico revelan que AZOA es capaz de alcanzar las soluciones óptimas para funciones máximas de referencia mientras mantiene un buen equilibrio entre exploración y explotación. Además, se han empleado numerosos problemas de ingeniería del mundo real para demostrar la solidez de AZOA. Finalmente, se prevé que la AZOA se desempeñará de manera dominante en las próximas funciones avanzadas de referencia de la CEC y otros problemas complejos de ingeniería.

La optimización es el proceso de identificar las variables de decisión mientras se mantienen varias restricciones para maximizar o minimizar la función de costo. Las restricciones, la función de costo y las variables de diseño son los componentes críticos de cualquier problema de optimización. Las técnicas de optimización son ampliamente aplicables en los campos de la ingeniería1, la selección de características2,3, el ajuste de los parámetros de aprendizaje automático4, las redes inalámbricas de sensores5, el procesamiento de imágenes6 y la bioinformática7. La mayoría de los problemas de la vida real son altamente no convexos y no lineales debido a la presencia de múltiples variables de diseño y la naturaleza intrínseca de las restricciones. Además, no hay certeza de obtener una solución óptima global8. Los desafíos relacionados con estos problemas de la vida real inspiran a los científicos a diseñar estrategias novedosas y exitosas para obtener mejores resultados. Los enfoques de optimización pueden clasificarse en dos tipos, como enfoques deterministas basados ​​en gradientes y enfoques no tradicionales basados ​​en estocásticos9. Los enfoques basados ​​en determinismo tienen limitaciones para resolver problemas con espacios de búsqueda discontinuos, funciones objetivo no convexas, de alta dimensión y no diferenciables. Sin embargo, las estrategias basadas en el estocástico no practican la información basada en gradientes; en cambio, son lo suficientemente inteligentes como para superar las limitaciones al confiar en métodos aleatorios en el espacio de búsqueda. Los algoritmos meta-heurísticos prevalecen por su amplia aplicabilidad entre las diversas técnicas en los enfoques estocásticos. Los algoritmos meta-heurísticos tienen un alto potencial para explorar el espacio de soluciones y explotar la mejor solución óptima. Por lo tanto, varios investigadores han intentado no solo proponer algoritmos metaheurísticos novedosos sino también mejorar la eficiencia de los métodos existentes, lo que ha dado como resultado la concepción de varias metaheurísticas novedosas durante las últimas décadas. En general, los algoritmos metaheurísticos se pueden agrupar en tres tipos principales, como los algoritmos evolutivos (EA), los algoritmos basados ​​en fenómenos naturales (NP) y los algoritmos de inteligencia de enjambre (SI)10,11. Los algoritmos evolutivos (EA) imitan el proceso de evolución de Darwin utilizando tres mecanismos: selección, reproducción y mutación. Algunas de las EA más destacadas son Evolución diferencial (DE)12, Algoritmo genético (GA)13, Estrategia evolutiva de adaptación de matriz de covarianza (CMA-ES)14, Estrategia evolutiva (ES)15, Variantes de DE adaptables basadas en la historia con tamaño de población lineal Reducción (L-SHADE)16, Optimizador basado en biogeografía (BBO)17 y Comportamiento basado en el rendimiento del alumno (LPB)18. Los algoritmos basados ​​en NP emulan las leyes químicas y físicas del cosmos. La mayoría de los algoritmos conocidos basados ​​en esta categoría son Simulated Annealing (SA)19, Central Force Optimization (CFO)20, Gravitational Search Algorithm (GSA)21, Water Cycle Optimizer (WCO)22, Black Hole Algorithm (BHA)23 , Lightning Search Algorithm (LSA)24, Multi-Verse Optimization (MVO)25, Thermal Exchange Optimization (TEO)11, Henry Gas Solubility Optimization26, Equilibrium Optimizer (EO)27, Archimedes Optimization Algorithm (AOA)28, Lichtenberg Algorithm (LA )29, algoritmo de dirección de flujo (FDA)30 y optimización de fusión-fisión (FuFiO)31. Los algoritmos de Swarm Intelligence (SI) siguen el comportamiento natural de mamíferos, aves e insectos. La mayoría de los algoritmos populares basados ​​en SI son el algoritmo Optimizador de enjambre de partículas (PSO)32, Optimizador de lobo gris (GWO)33, Optimización de pastoreo de elefantes (EHO)34, Optimización de llama de polilla (MFO)35, Algoritmo de optimización de ballenas (WOA)36, Salp Swarm Algorithm (SSA)37, Grasshopper Optimizer Algorithm (GOA)38, Harris Hawks optimization (HHO)39, An Improvised Competitive Swarm Optimizer (ICSO)40, Tunicate Swarm Algorithm (TSA)41, Levy Flight Distribution (LFD)10, y Algoritmo de optimización de buitres americanos (AVOA)42, Aquila Optimizer (AO)43, Golden Eagle Optimizer (GEO)44, Orca Predation Algorithm (OPA)45 y Artificial Rabbits Optimization (ARO)46, Artificial Gorilla Troops Optimizer (GTO)47, Optimizador de gacela de montaña (MGO)48. Es enfático afirmar que las meta-heurísticas49 existentes tienen ventajas y limitaciones. Por ejemplo, el algoritmo PSO clásico tiene la debilidad de la convergencia prematura en el espacio de búsqueda de alta dimensión, mientras que el algoritmo genético tiene dificultades en el ajuste de parámetros y el cálculo extenso. De manera similar, el algoritmo de búsqueda gravitacional tiene el inconveniente de una tasa de convergencia lenta y la presencia de muchos parámetros de control. El eminente algoritmo GWO tiene dificultades para abordar problemas de ingeniería desafiantes debido a su baja capacidad de búsqueda local. Además, el algoritmo TSA propuesto recientemente tiene la incapacidad de abordar problemas multimodales con grandes dimensiones. Por lo tanto, es fundamental desafiar estas limitaciones mediante la adaptación de nuevas técnicas y metodologías. Además, el "Teorema No Free Lunch (NFL)"50 establece que ningún algoritmo puede considerarse el mejor optimizador para todos los problemas de optimización. Los problemas no resueltos también necesitan un escaso abordaje para obtener soluciones. Como resultado, los investigadores de todo el mundo necesitan ofrecer con frecuencia metaheurísticas pioneras. Por lo tanto, en este artículo, se proyecta una nueva metaheurística inspirada en el comportamiento social de las cebras americanas, a saber, el algoritmo de optimización de las cebras americanas (AZOA). Las cebras americanas son animales socialmente hábiles que permanecen en un grupo con un macho, varias hembras y crías51. Los principales comportamientos de las cebras incluyen alimentarse, aparearse, preservar la jerarquía social y guiar a los jóvenes52,53. Las cebras americanas se distinguen de otros mamíferos por su carácter único y fascinante de "honestidad". El carácter social "honestidad" conduce a las cebras bebé a abandonar la manada antes de la madurez y unirse a una manada separada sin relación familiar. Esta partida de la cebra bebé equilibra la diversificación al evitar el apareamiento intrafamiliar. Además, la cebra macho madura en el grupo encanta a la cebra hembra para persuadir a la convergencia. Este escaso concepto de acuerdo social nos inspira a proponer el Algoritmo de Optimización American Zebra (AZOA). Se anticipa que la falta de esfuerzo y la solidez del algoritmo AZOA impulsarán soluciones globales rápidas y precisas mientras resuelven funciones de referencia y problemas de ingeniería de la vida real. Las principales contribuciones de este estudio se destacan a continuación:

Se propone un novedoso algoritmo bioinspirado, a saber, el algoritmo de optimización de cebra estadounidense (AZOA), inspirado en el comportamiento social único y el ejercicio de liderazgo de las cebras estadounidenses.

Los diversos comportamientos sociales de AZOA se presentan y modelan matemáticamente en cinco fases simples para una fácil implementación y un rendimiento superior.

AZOA se implementa y prueba en las funciones de prueba de referencia CEC-2005, CEC-2017 y CEC-2019 y varios problemas de diseño de ingeniería para garantizar la solidez del algoritmo propuesto.

El resto del trabajo está organizado de la siguiente manera: Secc. 2 revisa los trabajos relacionados. La Sección 3 discute la motivación y el modelado matemático del trabajo propuesto. La sección 4 presenta la configuración experimental y las discusiones de resultados. La Sección 5 se enfoca en la aplicación de AZOA a problemas de ingeniería clásica. Finalmente, la Secc. 6 proporciona las conclusiones y recomendaciones para futuros trabajos de investigación.

En la literatura, los algoritmos metaheurísticos se clasifican en varias categorías. A pesar de las distintas clasificaciones, se podría afirmar que la mayoría de estos algoritmos se han inspirado en el comportamiento colectivo y las técnicas de caza de los animales salvajes. Esta sección analiza los algoritmos metaheurísticos inspirados en la naturaleza y estudia los algoritmos básicos que se han propuesto para resolver problemas de optimización. El algoritmo genético (GA) es el enfoque más antiguo y más utilizado para abordar problemas de optimización que Holland propuso en 1992, motivado por los principios evolutivos darwinianos. Este algoritmo se ha empleado ampliamente en la mayoría de los problemas de optimización que involucran dos operadores de recombinación y mutación y se considera uno de los algoritmos más populares54, con numerosas variantes mejoradas y de recombinación ya descritas55. La optimización de enjambre de partículas (PSO) se propuso en 1995 basándose en el comportamiento de enjambre de aves, peces y otros animales en la naturaleza32. Se ha implementado en casi todos los campos de optimización, incluidas las aplicaciones de inteligencia computacional, diseño y planificación. Sin embargo, muchos investigadores todavía proponen un gran número de variantes para mejorar el rendimiento del algoritmo PSO. Para mejorar la precisión de la diversidad y evitar el óptimo local bajo de PSO, Zaman et al.56 propusieron un PSO mejorado con BSA llamado PSOBSA. El Algoritmo de Fertilidad de las Tierras Agrícolas (FFA, por sus siglas en inglés)57 se ha desarrollado para abordar los problemas actuales; fue motivado por el hecho de que las tierras de cultivo están separadas en muchas secciones, y las soluciones de cada sector se optimizan para una eficiencia óptima, tanto en la memoria interna como en la externa. Los hallazgos de la simulación revelan que la fertilidad de las tierras de cultivo a menudo funciona mejor que otros algoritmos metaheurísticos. En la referencia58, Farhad Soleimanian Gharehchopogh et al. mejorado el FFA para aplicarlo para abordar el problema TSP. Mide la calidad de cada parte de sus fincas durante su visita y mejora la calidad del suelo mediante el uso de fertilizantes y materiales orgánicos. Harris Hawks Optimizer (HHO) es un conocido algoritmo basado en el comportamiento animal; el comportamiento cooperativo y el estilo de persecución de los halcones de Harris en la naturaleza, conocido como salto sorpresa, es la inspiración principal para HHO59. Kaur et al. presentó el algoritmo TSA como motivado por replicar el estilo de vida de los tunicados en el mar y cómo Satnam41 entrega los alimentos. Además, se considera uno de los algoritmos metaheurísticos más nuevos para problemas de optimización de ingeniería. Tunicate puede explorar en busca de una fuente de alimento, aunque desconocen su ubicación. Aunque el algoritmo TSA es simple y funciona bien, es fácil quedarse atascado en la optimización local, lo que hace que converja más rápido que algunos algoritmos metaheurísticos. Entonces, Farhad Soleimanian Gharehchopogh60 introdujo una versión de este algoritmo llamado algoritmo QLGCTSA para abordar estos problemas. Li et al.61 propusieron un algoritmo de moho mucilaginoso (SMA) que imita el comportamiento de difusión y búsqueda de alimento del moho mucilaginoso. Tiene una serie de características nuevas y un modelo matemático especial que simula la onda biológica utilizando pesos adaptativos. Ofrece una vía óptima de enlace alimentario con una alta capacidad de exploración y explotación. Los resultados indican que el SMA propuesto tiene un desempeño competitivo y frecuentemente excelente en varios panoramas de búsqueda. El algoritmo Tree-Seed (TSA) fue propuesto por Kiran en 2015 para la resolución de problemas de optimización continua y está inspirado en la relación entre árboles y semillas en la naturaleza, así como en cómo crecen y se posicionan las semillas de los árboles62. Xue et al.63 propusieron un algoritmo de búsqueda de gorriones (SSA) basado en la sabiduría del grupo, el forrajeo y los comportamientos anti-depredación de los gorriones. El algoritmo de búsqueda de cucos (CS) fue propuesto por Xin-She Yang y Suash Deb en 2009, y se inspiró en el parasitismo de cría agresivo y los comportamientos de puesta de huevos de ciertas especies de cucos64. Sin embargo, los algoritmos CS tienen problemas como la convergencia prematura, la convergencia retrasada y quedar atrapados en la trampa local. Para superar este problema, Shishavan, Saeid Talebpour et al.65 propusieron un algoritmo Cuckoo Search Optimization (CSO) mejorado con un algoritmo genético (GA) para la detección de comunidades en redes complejas. Symbiotic Organisms Search (SOS)66 es un algoritmo metaheurístico nuevo, robusto y poderoso inspirado en las estrategias de interacción simbiótica adoptadas por los organismos para sobrevivir y propagarse en el ecosistema. En la referencia 67, Hekmat Mohammadzadeh et al. introdujo una selección de funciones con un algoritmo de búsqueda de organismos simbióticos binarios para la detección de correo no deseado.

Este artículo no contiene ningún estudio con participantes humanos o animales realizado por ninguno de los autores.

Esta sección destaca la inspiración del estilo de vida social de la cebra americana al proponer el algoritmo AZOA junto con la formulación matemática.

Las cebras americanas pertenecen a la familia de los équidos con pelaje a rayas blancas y negras. Viven en toda el área sureste de América y se ven en ambientes como matorrales, llanuras, bosques y lugares montañosos. Las rayas de las cebras americanas aparecen en formas distintas para cada individuo. Las cebras americanas miden alrededor de 7.5 pies de largo corporal con una altura de los hombros de 4 pies y un peso de 600 libras. Tienen buena visión, buena audición y la capacidad de correr a una velocidad de 25 millas por hora. Las cebras son animales de instinto social que viven en un grupo familiar, que incluye una cebra macho, varias hembras y crías, como se muestra en la Fig. 1. Pasan tiempo en manadas, se acicalan unas a otras y para obtener pasto fresco pastan alrededor. el semental líder de la familia, como se muestra en la Fig. 2. Las cebras siguen estrictamente las limitaciones sociales y no se aparean con los miembros de su familia. Las cebras sementales maduras viven en un solo grupo para encontrar una pareja adecuada para aparearse, mientras que las crías se unen a otros grupos. Las cebras macho se unen a los grupos solitarios una vez que tienen la edad suficiente para reproducirse, mientras que las cebras hembras se apartan de sus grupos de padres antes de llegar a la adolescencia. Este proceso de salida del grupo impide que los padres cebra se reproduzcan con sus crías para garantizar la diversidad requerida en AZOA. Asimismo, la convergencia está asegurada por el ejercicio de liderazgo en las cebras americanas para dirigir la velocidad y dirección del grupo68. El líder del grupo de sementales debe guiar al grupo hacia las mejores reservas de agua disponibles. El semental domina al otro grupo de cebras al llevar a los miembros del grupo a utilizar fuentes de agua. Este estilo de vida social de las cebras es de naturaleza indígena y sumamente fructífero por proponer una técnica meta-heurística. Por lo tanto, con base en esta fuente de inspiración, se está desarrollando un novedoso algoritmo metaheurístico llamado AZOA junto con su formulación matemática para lograr los desafíos de optimización global.

Cebras americanas en un grupo familiar.

Pastando alrededor del líder de la familia (semental).

Esta sección presenta el modelado matemático del comportamiento de la vida social de las cebras americanas al proponer el algoritmo AZOA. La actividad de vida de las cebras americanas consta de 5 fases clave, que se enumeran a continuación:

Fase 1: Formación de grupos de cebra aleatorios

Fase 2: Actividad de alimentación de las cebras americanas

Fase 3: Actividad de cría de las cebras americanas

Fase 4: Liderazgo del grupo

Fase 5: etapa de transición de liderazgo de selección de un nuevo líder

En la naturaleza, las cebras viven en varios grupos diferentes siguiendo al semental líder del grupo, que parece dividir a toda la población en múltiples grupos. Aquí, la notación 'P' representa la probabilidad de semental en toda la población 'S', y el número total de grupos 'N' se calcula mediante la fórmula \(N=S*P\). La posición de \({i}\)ésima cebra en \({j}\)ésimo grupo \({(Z}_{i,j\in N}=\left\{{Z}_{ij1}, {Z}_{ij2}, {Z}_{ij3},.....,{Z}_{ijn}\right\})\) para el espacio de búsqueda \(n\)-dimensional se calcula usando el fórmula \({Z}_{i,j}={(Z}_{max}-{Z}_{min})rand+{Z}_{min}\). Aquí, los puntos extremos superior e inferior del área de búsqueda están definidos por \({Z}_{max}\) y \({Z}_{min}\) respectivamente. El símbolo '\(rand\)' denota un valor aleatorio entre [0, 1]. Este mecanismo asegura \(N\) número de diferentes multitudes de cebras con un semental único en cada grupo. La imagen de muestra de la división de grupos de cebra se refleja en la Fig. 3.

Formación de grupos a partir de la población original.

Las cebras son herbívoras y dependen principalmente de varias hierbas y hojas verdes. Conseguir hierba fresca y hojas verdes es muy difícil para las cebras jóvenes, por lo que dependen del líder de la familia. Por lo tanto, las cebras siempre pastan juntas y se mueven alrededor del semental líder de la familia. Para modelar matemáticamente la actividad de alimentación de las cebras americanas, se proponen las siguientes ecuaciones.

donde \({Z}_{S}^{j}\) y \({Z}_{i,}^{j}\) representan la posición del semental y la \({i}\)ésima cebra de el grupo \({j}\)th, respectivamente, \({N}_{j}\) representa el total de miembros en el grupo \({j}\)th, \({R}_{1}\ ) indica un valor aleatorio uniforme entre [− 2, 2] que induce la alimentación de la cebra en múltiples ángulos de 360 ​​grados alrededor del líder del grupo, \({R}_{2}\) denota el parámetro adaptativo que se evalúa mediante ecuación (3), \({R}_{3}\) denota un valor aleatorio que se encuentra en [0, 1], las funciones \(\mathrm{Sin}\) y \(\mathrm{Cos}\) ayudan a movimiento de otros \({i}\)th miembros en múltiples ángulos alrededor del líder de la familia69, \({\overline{Z} }_{i}^{j}\) representa la nueva actualización \({i}\ )th posición del miembro mientras se alimenta y, por último, \({\overline{F} }_{i}^{j}\) es su valor de aptitud de \({i}\)th zebra.

Aquí, \(T\) y \(t\) denotan la iteración máxima y la iteración actual respectivamente.

Para el equilibrio adecuado de la cadena alimentaria, la presencia de animales en la parte inferior de la cadena alimentaria, como caballos, vacas, burros y cebras, en abundancia es esencial. Por lo tanto, estos animales se reproducen profusamente. Entre estos animales, el comportamiento de la cebra es completamente diferente y preserva la dignidad de la familia. No se reproducen con sus padres y hermanos. Por lo tanto, las cebras jóvenes dejan a sus familias antes de la edad adulta y se unen a otra familia de cebras para reproducirse. Este mecanismo se presenta gráficamente en la Fig. 4 al considerar tres grupos de cebra diferentes. Aquí, la cebra bebé del \({i}\)ésimo grupo tiene dos formas de elegir la nueva familia; es decir, la cebra bebé puede ir al grupo \({j}\)th o al grupo \({k}\)th. De manera similar, otras cebras bebés de cada grupo deben elegir un nuevo grupo como si ninguno de sus hermanos y hermanas hubiera estado allí alguna vez. Dado que estas cebras bebés no tienen lazos familiares en su nuevo grupo, se reproducen sin ninguna restricción. Por lo tanto, las cebras bebés de \(j\) y \(k\) identifican otros grupos y se reproducen allí. En este proceso, se preserva la decencia general de la familia, lo que ayuda a mantener la diversidad en el algoritmo AZOA. Para modelar la actividad reproductiva de las cebras, se han desarrollado las siguientes ecuaciones.

donde \({Z}_{i}^{a}\) representa la posición de la cebra bebé \(a\) del \({i}\)ésimo grupo, \({Z}_{j}^{b }\) denota la posición de la cebra \(b\) de \({j}\)ésimo grupo, \({Z}_{k}^{c}\) representa la posición de la cebra \(c\) de \ ({k}\)ésimo grupo, y \({Z}_{j}^{q}\) y \({Z}_{k}^{q}\) son la posición de la cebra \(q\ ) en \({j}\)th grupo y \({k}\)th grupo, respectivamente.

Actividad reproductiva de las cebras americanas.

Las cebras dan gran importancia al líder de la familia. El líder de la familia busca praderas verdes, hojas de árboles y cuerpos de agua para ellos. El líder a menudo lucha contra otras cebras rivales y proporciona buena comida y bebida para su familia. El grupo de las cebras, que es más fuerte que el otro grupo, conserva los derechos sobre el embalse de agua y los pastizales. Después de eso, otros pueden aprovecharlo. Este enfoque se modela usando las siguientes ecuaciones.

donde \({R}_{4}\) representa un número aleatorio uniforme que se encuentra en [− 2, 2], \({R}_{5}\) denota el parámetro adaptativo que está determinado por la ecuación. (8), \({R}_{6}\) representa un número aleatorio uniforme que se encuentra en [0, 1], \(WR\) denota las reservas de agua, \({Z}_{S}^{j} \) es la posición actual del semental líder del grupo \(j\)th, \({\overline{Z} }_{S}^{j}\) es la próxima posición del semental líder del grupo \(j\)th, y \({\overline{F} }_{S}^{j}\) es su valor de aptitud del semental en \(j\)th grupo.

Es bastante necesario que el grupo tenga un líder de grupo fuerte para que el grupo pueda mantener la disciplina de manera adecuada y también pueda organizar las fuentes de alimentos disponibles. Si en alguna situación, el líder del grupo se debilita, entonces es fundamental cambiar de líder. La siguiente fórmula se desarrolla para modelar la etapa de transición de liderazgo para seleccionar un nuevo líder.

donde \({Z}_{S}^{j}\) representa la posición actual del semental de los líderes de grupo \(j\)th y \(F( {Z}_{S}^{j})\) es el Valor físico del semental líder.

El pseudocódigo y el diagrama de flujo del algoritmo de optimización American zebra se presentan en el Algoritmo 1 y en la Fig. 5, respectivamente.

Diagrama de flujo del algoritmo AZOA propuesto.

La complejidad del tiempo de ejecución de AZOA depende de tres procedimientos: inicialización, evaluación del valor de aptitud y actualización de individuos. La complejidad computacional del proceso inicial con \(M\) individuos es O \((M)\), y la actualización del mecanismo es O (\(T*M\)) + O (\(T*M*d\ )), donde \(T\) representa iteraciones máximas y \(d\) denota la dimensión de problemas específicos. Por lo tanto, la complejidad total del tiempo de ejecución de AZOA es O (\(M*\)(\(T+Td+1\))), que es similar a otros optimizadores.

En esta sección, se realizan varios experimentos para examinar la eficiencia del algoritmo AZOA recientemente propuesto mientras se compara con otras metaheurísticas como PSO, GWO, GSA, SSA, MVO, TSA y LFD. Aquí, se emplean tres trajes de prueba destacados, a saber, CEC-200570, CEC-201771 y CEC-201972, junto con tres problemas de ingeniería para lograr en los experimentos. Además, se realizan varias pruebas estadísticas como la prueba \(t\)73 y la prueba de suma de rangos de Wilcoxon74 para analizar el rendimiento del algoritmo. Para la prueba de las funciones de referencia, el número de agentes de búsqueda y evaluaciones de funciones (NFE) se establece en 30 y 15 000, respectivamente. Los parámetros de control iniciales de todos los algoritmos se muestran en la Tabla 4. Todos los experimentos se llevan a cabo en Windows 10, CPU de 1,70 GHz, 8,00 GB de RAM y MATLAB R2021a95. Las discusiones detalladas del rendimiento del algoritmo AZOA en cada conjunto de pruebas de referencia se proporcionan en las siguientes subsecciones.

El CEC-2005 es el conjunto de pruebas estándar para investigadores en inteligencia computacional. El conjunto de pruebas Ace contiene veintitrés funciones de referencia, que se pueden clasificar en tres grupos: unimodal (\(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}7\)), multimodal (\(\mathrm{F }8{-}\mathrm{F}13\)), y funciones multimodales de dimensión fija (\(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}23\)). La lista de todas las funciones de referencia, junto con sus parámetros, se presenta en las Tablas 1, 2 y 3. Generalmente, todos los algoritmos de optimización tienen dos fases: exploración y explotación. Una función de prueba unimodal comprende una solución óptima global única que ayuda a evaluar la capacidad de explotación de un algoritmo. Sin embargo, las funciones multimodales y multimodales de dimensión fija incluyen múltiples puntos óptimos que ayudan a probar la capacidad de exploración del algoritmo. Dos criterios de evaluación, la media \((avg)\) y la desviación estándar \((std)\), se determinan utilizando las siguientes ecuaciones:

donde \({x}_{i}\) denota la mejor solución obtenida de \(i\)ésima ejecución y \(R\) representa treinta ejecuciones independientes.

Los parámetros estadísticos \(avg\) y \(std\) cuantifican el rendimiento de un algoritmo. Cuanto menor sea el valor de \(avg\), mejor será la capacidad del algoritmo para obtener una solución cercana al óptimo global. Incluso si los dos algoritmos tienen el mismo valor \(avg\), su desempeño en la obtención del óptimo global puede variar en cada generación. Como resultado, \(std\) se emplea para establecer una comparación más precisa. El \(std\) debe tener un valor bajo para tener menos variación en los resultados. Los resultados estadísticos en términos de promedio y desviación estándar de AZOA junto con su algoritmo comparado se informan en la Tabla 5. La Tabla 5 demuestra que AZOA se desempeñó mejor en todas las funciones unimodales excepto \(\mathrm{F}6\) que otros algoritmos comparados en capacidades de explotación. Los resultados de las funciones multimodales indican que AZOA es capaz de superar otras metaheurísticas en términos de capacidad de exploración. Por otro lado, GSA y PSO se desempeñaron admirablemente para las funciones \(\mathrm{F}8\) y \(\mathrm{F}13\), respectivamente. Los resultados de las funciones multimodales y de dimensión fija ilustran que AZOA se desempeña de manera más efectiva en la optimización de \(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}16\) y \(\mathrm{F}20{-}\mathrm {F}23\). Sin embargo, estos resultados son más necesarios para ser probados para verificar la importancia estadística entre el algoritmo. Por lo tanto, las pruebas estadísticas imperativas, como la prueba \(t\) y la prueba de suma de rangos de Wilcoxon a \(\alpha\) = 0,05 % de nivel significativo, son necesarias para indicar una mejora significativa del algoritmo propuesto. Sean \({avg}_{1}\), \({avg}_{2}\) y \({std}_{1}\), \({std}_{2}\) media y desviación estándar para los dos algoritmos, respectivamente. Los resultados de la prueba \(t\) en \(\alpha\) = 0.05% para cada función se presentan en la Tabla 5, que se calculan mediante la ecuación. (12). El análisis de sensibilidad del algoritmo AZOA propuesto se lleva a cabo en la Fig. 6.

Análisis de sensibilidad del algoritmo AZOA propuesto para los parámetros PC y SP.

Si el valor \(t\) correspondiente está en negrita, AZOA funciona significativamente mejor en comparación con otros algoritmos. En una situación de empate, los resultados se muestran en negrita cursiva. Además, las últimas filas de cada tabla, etiquetadas como \(w/t/l\), indican los recuentos de victorias, empates y pérdidas de AZOA sobre el algoritmo determinado en términos de valores \(t\). Claramente, a partir de los valores \(t\), se observa que el rendimiento de AZOA es una diferencia estadísticamente significativa en la mayoría de los casos. Los resultados de la prueba de suma de rangos de Wilcoxon de AZOA en \(\alpha\) = 0.05% de nivel significativo se presentan en la Tabla 6. Aquí, \(\mathrm{H}=\) \(1\) y \(\ mathrm{H }= 0\) indican aceptación y rechazo, respectivamente, mientras que \(Na\) indica los valores óptimos equivalentes de los dos algoritmos. De la Tabla 6 se observa que la mayoría de los valores de \(p\) son menores a 0.05, lo que muestra claramente que el algoritmo AZOA se desempeña superiormente en comparación con otras meta-heurísticas. Después de las pruebas estadísticas, es necesario verificar el gráfico de convergencia de los algoritmos. El objetivo principal detrás del análisis de convergencia es comprender el comportamiento y la representación gráfica del algoritmo AZOA propuesto. Por lo tanto, las curvas de convergencia de los algoritmos para algunas funciones de prueba se presentan en la Fig. 7. Como se ve en las curvas de convergencia, el algoritmo propuesto en las funciones \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}4\) sigue un cierto patrón suave, que da más énfasis a la explotación. En las funciones \(\mathrm{F}8\), \(\mathrm{F}9\), \(\mathrm{F}11\), y \(\mathrm{F}22\), el algoritmo propuesto sigue un patrón diferente que tiene muchos puntos óptimos. Se enfoca más en las fases de exploración que se logran en las primeras fases del algoritmo. Sin embargo, en las últimas fases del algoritmo, que generalmente es la fase de explotación, la AZOA se ha comportado paso a paso para las funciones \(\mathrm{F}10\) y \(\mathrm{F}12\). En las funciones \(\mathrm{F}14\), \(\mathrm{F}15\), \(\mathrm{F}20\), y \(\mathrm{F}23\), el algoritmo propuesto logra una convergencia comparable. Como resultado, AZOA exhibe un patrón de convergencia superior en casi todas las funciones. Para analizar más a fondo y comparar gráficamente el rendimiento de las técnicas de optimización, en la Fig. 8 se muestra el diagrama de caja de bigotes75 para cada metaheurística y función objetivo. El cuadro central representa el valor entre el primer y el tercer cuartil y la línea negra denota la mediana. Se puede observar en la Fig. 8 que AZOA funciona mejor que las otras metaheurísticas de última generación. También demuestra que AZOA tiene un mejor rendimiento y una capacidad de convergencia superior en los procesos de exploración y explotación de componentes. En resumen, dependiendo de los resultados y análisis del desempeño de los algoritmos en CEC-2005, el algoritmo AZOA propuesto es capaz de obtener soluciones superiores para la mayoría de las funciones de prueba y produce resultados estadísticamente significativamente mejores que otras metaheurísticas.

Gráfico de convergencia de AZOA y otras metaheurísticas en la resolución de funciones de referencia CEC-2005.

Diagramas de caja de AZOA y otras metaheurísticas para resolver el punto de referencia CEC-2005.

El algoritmo propuesto, denominado AZOA, emplea dos parámetros: el parámetro PC (probabilidad de cruce) y el parámetro SP (probabilidad de sementales o número de grupos). El análisis de sensibilidad de estos parámetros se ha explicado cambiando sus valores mientras se mantienen constantes los demás parámetros, como se muestra en la Tabla 4.

Para examinar el impacto del parámetro PC, se realizó el algoritmo AZOA para varios valores de PC mientras se mantenían constantes los demás parámetros. Los diferentes valores de PC probados en experimentación son 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 y 0,5. La variación de PC en las funciones de referencia estándar se representa en la Fig. 6 (i). Los resultados revelan que cuando el valor de PC se establece en 0,1, AZOA produce mejores resultados óptimos (Tablas 5, 6).

Para examinar el impacto del parámetro SP, se realizó el algoritmo AZOA para varios valores de SP mientras se mantenían constantes los demás parámetros. Los diferentes valores de PC probados en experimentación son 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 y 0,5. La variación de SP en las funciones de referencia estándar se representa en la Fig. 6 (ii). Los resultados revelan que cuando el valor de SP se establece en 0,1, AZOA produce mejores resultados óptimos.

En esta sección, las funciones del conjunto de pruebas CEC-2017 se emplean para evaluar la eficiencia y la capacidad del AZOA recientemente propuesto. El conjunto de pruebas contiene treinta funciones de las que se excluye la función \(\mathrm{F}2\) debido a la dificultad de la simulación. Las funciones CEC-2017 se clasifican en cuatro grupos, a saber, unimodales (\(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}3\)), multimodales (\(\mathrm{F}4{-}\mathrm {F}10\)), híbrido (\(\mathrm{F}11{-}\mathrm{F}20\)), y composición (\(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F} 30\)). Las funciones híbridas y compuestas reflejan funciones de optimización más desafiantes con espacios de búsqueda dinámica que se han utilizado para estudiar el equilibrio entre la exploración y la explotación del algoritmo. En esta función de prueba, la dimensión se fija en \(10\) y los tiempos de ejecución de todos los algoritmos se consideran 30, junto con 500 generaciones, para un total de 150 000 evaluaciones de funciones numéricas (NFE). Los resultados estadísticos de AZOA en las funciones objetivo de CEC-2017 se presentan en la Tabla 7, y los mejores resultados se destacan en negrita. La Tabla 7 muestra que el algoritmo propuesto tiene un buen desempeño en problemas unimodales y problemas multimodales, así como la capacidad de identificar la solución óptima global de forma continua. Además, muestra que el algoritmo AZOA se desempeñó bien en comparación con otros algoritmos existentes en funciones híbridas. Además, los resultados del cuarto grupo de funciones CEC-2017 muestran que la AZOA produce resultados competitivos en las funciones de composición. Sin embargo, la comparación de algoritmos metaheurísticos basados ​​en sus valores \(ave\) y \(std\) no es concluyente. Por lo tanto, se presenta la prueba \(t\) y la prueba de suma de rangos de Wilcoxon y \(\alpha\) = 0,05 % de nivel significativo para demostrar una diferencia significativa en AZOA. Los valores de \(t\) en \(\alpha\) = 0,05 % de nivel de significancia mediante la prueba \(t\) se presentan en la Tabla 7 para confirmar la presencia de diferencias significativas en AZOA con respecto a los algoritmos comparados. Si el valor \(t\) correspondiente está en negrita, los AZOA funcionan significativamente mejor en comparación con otros algoritmos. En una situación de empate, los resultados se muestran en negrita cursiva. Además, \(w/t/l\) se ha etiquetado en las últimas filas de la Tabla 7, lo que indica los recuentos de victorias, empates y pérdidas de AZOA sobre ese algoritmo determinado en términos de valores \(t\). Claramente, de la Tabla 7, se observa que AZOA tiene una diferencia significativa sobre otros algoritmos. Los valores de \(p\) en \(\alpha\) = 0,05 % de nivel significativo según la prueba Wilcoxon Rank Sum se presentan en la Tabla 8 para funciones unimodales, multimodales y multimodales de punto fijo, respectivamente. Estas tablas muestran que los valores de \(p\) son inferiores a 0,05. Esto muestra claramente que el algoritmo American zebra funciona mejor en comparación con otros algoritmos metaheurísticos. Los gráficos convergentes de los algoritmos implementados se muestran en la Fig. 9. Al observar todas estas curvas, queda claro que el AZOA muestra la rápida convergencia de las funciones \(\mathrm{F}1\), \(\mathrm{ F}10\), \(\mathrm{F}12\), \(\mathrm{F}13\), \(\mathrm{F}15\), \(\mathrm{F}18\), \(\mathrm{F}19\), y \(\mathrm{F}30\) y una convergencia comparable para las funciones \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}4\) , \(\mathrm{F}11\), \(\mathrm{F}14\), y \(\mathrm{F}15\). Como resultado de esta observación, AZOA puede considerarse como uno de los algoritmos confiables. En la Fig. 10, el rendimiento de los algoritmos metaheurísticos y el AZOA propuesto para resolver las funciones \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}30\) se presenta como un diagrama de caja. Al optimizar la mayoría de las funciones \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}30\), este estudio de diagrama de caja indica que el AZOA tiene un ancho más pequeño y un centro más eficiente que los algoritmos metaheurísticos de la competencia. Esto sugiere que AZOA ha proporcionado soluciones que son casi idénticas en múltiples implementaciones. Como resultado, AZOA puede ofrecer soluciones más efectivas a los desafíos óptimos. El análisis de los resultados de optimización de CEC-2017 demuestra que AZOA funciona mejor que los siete algoritmos comparados.

Gráfico de convergencia de AZOA y otras metaheurísticas en la resolución de funciones de referencia CEC-2017.

Gráficos de caja de AZOA y otras metaheurísticas para resolver funciones de referencia CEC-2017.

Esta subsección calcula el rendimiento del algoritmo comparado utilizando las nuevas funciones de referencia CEC-2019 propuestas. Para todos los algoritmos, el tamaño de la población se considera de 30 con 500 iteraciones y un máximo de 15 000 evaluaciones de funciones. Sus resultados se comparan con el mismo algoritmo que se empleó en la parte anterior. Los resultados estadísticos como \(avg\) y \(std\) se informan en la Tabla 9. De acuerdo con el valor \(avg\), los resultados de la Tabla 9 muestran que el nuevo algoritmo funciona mejor para resolver las funciones de referencia en comparación con otro algoritmo. Los valores de \(t\) en \(\alpha\) = 0,05 % de nivel significativo se presentan en la Tabla 9 para comprobar la diferencia significativa entre los algoritmos. Claramente, de la Tabla 9, se observa que AZOA tiene una diferencia significativa sobre otros algoritmos. Los valores de \(p\) según la prueba de suma de rangos de Wilcoxon en \(\alpha\) = 0,05 % significativos se presentan en la Tabla 10. La Tabla 10 muestra que los valores de \(p\) son menores que 0,05. Esto muestra claramente que el algoritmo de optimización cebra estadounidense funciona bien en comparación con otros algoritmos metaheurísticos.

El gráfico convergente de los algoritmos que se han implementado se muestra en la Fig. 11. Está claro a partir de estas curvas que el AZOA exhibe el convergente más rápido para las funciones \(\mathrm{F}1\), \(\mathrm{F }4\), \(\mathrm{F}5\), y \(\mathrm{F}7\) y una convergencia comparable para las funciones \(\mathrm{F}2\), \(\mathrm{ F}3\), \(\mathrm{F}8\), y \(\mathrm{F}9\). En la Fig. 12, el diagrama de caja de los algoritmos comparados junto con el AZOA propuesto para resolver las funciones se presenta como un diagrama de caja. A partir de la Fig. 12, el estudio de diagrama de caja indica que el AZOA tiene un ancho más pequeño y un centro más eficiente que los algoritmos metaheurísticos de la competencia. Esto muestra que AZOA ha proporcionado soluciones que son casi idénticas en múltiples implementaciones. Como resultado, AZOA puede ofrecer soluciones más efectivas a desafíos óptimos.

Gráfico de convergencia de AZOA y otras metaheurísticas en la resolución de funciones de referencia CEC-2019.

Diagramas de caja de AZOA y otras metaheurísticas para resolver funciones de referencia CEC-2019.

En esta subsección, el rendimiento del método AZOA propuesto se compara con el de los cuatro algoritmos destacados más recientes, a saber, el algoritmo de fertilidad de las tierras agrícolas (FFA)57, la optimización de la gacela de montaña (MGO)48, el algoritmo de optimización de los buitres africanos (AVOA)42 y Optimizador de tropas de gorilas artificiales (GTO)47. El método AZOA propuesto y estos cuatro últimos algoritmos destacados se implementan en las funciones de referencia CEC-2005, CEC-2017 y CEC-2019.

Los resultados de la simulación de las funciones de referencia de CEC-2005 se presentan en las Tablas 11 y 12. De acuerdo con los resultados de la simulación, el método AZOA propuesto es el tercer mejor optimizador en comparación con los cuatro últimos algoritmos destacados para resolver \(\mathrm{F}1 {-}\mathrm{F}4\),\(\mathrm{F}7\), \(\mathrm{F}9{-}\mathrm{F}11\), \(\mathrm{F} 14{-}\mathrm{F}19\) y \(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F}23\). Las curvas de convergencia de AZOA y los cuatro algoritmos destacados más recientes mientras logran la solución durante las iteraciones del algoritmo se muestran en la Fig. 13. Los resultados de la simulación revelaron que el método propuesto, a saber, AZOA con altas capacidades de explotación, exploración y equilibrio, tuvo un rendimiento superior cuando en comparación con FFA y MGO y rendimiento comparable con AVOA y GTO. Además, los resultados de la prueba estadística de suma de rangos de Wilcoxon revelan la significativa superioridad estadística de AZOA frente a los dos últimos algoritmos destacados, a saber, FFA, MGO y AZOA. Los diagramas de caja del rendimiento de AZOA y los algoritmos de la competencia para resolver las funciones del conjunto de referencia CEC-2005 se muestran en la Fig. 14. El análisis de los resultados del diagrama de caja demuestra que el método AZOA propuesto, al tratar con \(\mathrm{F}1{ -}\mathrm{F}4\), \(\mathrm{F}7\), \(\mathrm{F}9{-}\mathrm{F}11\), \(\mathrm{F}14 {-}\mathrm{F}19\) y \(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F}23\), es el tercer mejor optimizador en comparación con los algoritmos rivales.

Gráfico de convergencia de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes en la resolución de funciones de referencia CEC-2005.

Diagramas de caja de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes para resolver funciones de referencia CEC-2005.

Los resultados estadísticos de las funciones de referencia de CEC-2017 que emplean AZOA y los cuatro algoritmos sobresalientes más recientes se presentan en las Tablas 13 y 14. Lo que se concluye de los resultados de la simulación es que el método AZOA propuesto proporcionó un mejor resultado en comparación con AVOA para \( \mathrm{F}1\), \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}5{-}\mathrm{F}9\), \(\mathrm{F}11\) , \(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}17\) y \(\mathrm{F}19{-}\mathrm{F}29\) y ofrecen resultados equivalentes en comparación con FFA y MGO. Las curvas de convergencia de AZOA y los cuatro algoritmos destacados más recientes al lograr la solución para las funciones CEC-2005 durante las iteraciones del algoritmo se presentan en la Fig. 15. El análisis de los resultados de la simulación muestra que el método AZOA propuesto ha proporcionado un mejor rendimiento para las funciones \ (\mathrm{F}1\), \(\mathrm{F}13\) y \(\mathrm{F}30\) y rendimiento comparable para otras funciones. Los diagramas de caja del rendimiento de AZOA y los algoritmos de la competencia para resolver las funciones del conjunto de referencia CEC-2017 se muestran en la Fig. 16.

Gráfico de convergencia de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes en la resolución de funciones de referencia CEC-2017.

Diagramas de caja de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes para resolver funciones de referencia CEC-2017.

Los resultados de optimización de las funciones de referencia de CEC-2019 que emplean AZOA y los cuatro algoritmos destacados más recientes se presentan en las tablas 15 y 16. En primer lugar, cuando AZOA se compara con FFA, proporciona el mejor resultado para las funciones \(\mathrm{F}2 {-}\mathrm{F}4\), \(\mathrm{F}6{-}\mathrm{F}8\), y \(\mathrm{F}10\). En segundo lugar, proporcionó un mejor resultado para las funciones \(\mathrm{F}2,\) \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}6\), \(\mathrm{F}7 \) y \(\mathrm{F}10\) en comparación con MGO. En tercer lugar, AZOA proporciona mejores resultados en comparación con AVOA excepto para las funciones \(\mathrm{F}1\), \(\mathrm{F}4\), \(\mathrm{F}6\) y \(\mathrm {F}8\). Por último, AZOA ofrece los mejores resultados para las funciones \(\mathrm{F}2\), \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}7\), \(\mathrm{F}8 \) y \(\mathrm{F}10\). Por lo tanto, AZOA funciona mejor en comparación con los últimos cuatro algoritmos sobresalientes. El gráfico convergente de los algoritmos que se han implementado se muestra en la Fig. 17. Está claro a partir de estas curvas que el AZOA realiza una convergencia comparable para la mayoría de las funciones. En la Fig. 18, el diagrama de caja de los algoritmos comparados junto con el AZOA propuesto para resolver las funciones se presenta como un diagrama de caja. A partir de la Fig. 18, el estudio de diagrama de caja indica que el AZOA tiene un ancho más pequeño y un centro más eficiente que los algoritmos metaheurísticos de la competencia.

Gráfico de convergencia de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes en la resolución de funciones de referencia CEC-2019.

Diagramas de caja de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes para resolver funciones de referencia CEC-2019.

En esta parte, el AZOA se evalúa en problemas de ingeniería de la vida real, que presentan una variedad de desafíos, como restricciones, números enteros mixtos, etc. Estos problemas de optimización de ingeniería con restricciones (en el caso de minimización) se pueden representar de la siguiente manera:

donde \({g}_{i}\) y \({h}_{j}\) representan las restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente. \({R}^{n}\) denota el espacio vectorial \(n\)-dimensional sobre el campo real. El objetivo de AZOA es encontrar la mejor solución factible que minimice la función de costo \(f(\overrightarrow{z})\) sujeta a restricciones. Para manejar todas estas restricciones en AZOA, se utiliza la función de penalización. El enfoque de la función de penalización se aplica para redefinir el problema de optimización de ingeniería con restricciones. Como resultado, en la Ec. (\(14\)) la optimización de estos problemas de ingeniería aplicando AZOA se expresa como:

donde \(S\) denota espacio de búsqueda factible. al aplicar dicho enfoque, a los individuos que violan cualquier restricción en cualquier nivel se les asigna un valor óptimo de función grande. Como resultado, a lo largo de la fase de optimización, el algoritmo eliminará automáticamente las soluciones no factibles. De esta manera, al aplicar una función de penalización, un problema con restricciones puede convertirse en un problema sin restricciones.

La idea clave detrás de este diseño de ingeniería es minimizar el peso del resorte considerando tres restricciones de desigualdad no lineales y una lineal. La figura geométrica del resorte se ve en la Fig. 19. Este problema de ingeniería tiene tres variables de decisión continuas, que incluyen el diámetro del alambre (\(d\) o \({z}_{1}\)), el diámetro medio de la bobina (\ (D\) o \({z}_{2}\)), y el número de bobinas activas (\(K\) o \({z}_{3}\)). La expresión matemática del diseño se presenta a continuación:

Problema de diseño del resorte de tensión o compresión.

Los resultados del AZOA recién propuesto se comparan con algoritmos metaheurísticos conocidos que han abordado con éxito este problema, incluidos PSO, GSA, SSA, TSA, MVO, GWO y LFD. Los resultados de esta comparación se muestran en la Tabla 17 y muestran que AZOA puede generar soluciones efectivas y diseñar bien.

El objetivo principal de este problema de diseño es reducir el precio de un recipiente a presión en general, lo que incluye los costos de soldadura, formación y materiales, como se ilustra en la Fig. 20. Este diseño de optimización tiene cuatro variables de diseño como el espesor de la carcasa (\ ({z}_{1}\) o \(Ts\)), el grosor de la cabeza (\({z}_{2}\) o \(Th\)), el radio interior (\({z }_{3}\) o \(R\)), y la longitud de la porción cilíndrica del recipiente (\({z}_{4}\) o \(L\)). Entre esta variable de cuatro diseños, \({z}_{3}\) y \({z}_{4}\) son continuas, mientras que \({z}_{1}\) y \({ z}_{2}\) son discretos (múltiplos enteros de 0,0625 pulgadas). Matemáticamente, el recipiente a presión se expresa de la siguiente manera:

Problema de diseño de recipientes a presión.

Los resultados de AZOA se comparan con algoritmos metaheurísticos conocidos, incluidos PSO, GSA, SSA, TSA, MVO, GWO y LFD. Los resultados de esta comparación se muestran en la Tabla 18, que ilustra que AZOA produjo los mejores resultados al abordar este problema al reducir el costo total del recipiente a presión cilíndrico.

El objetivo de este diseño es reducir al máximo el precio de las vigas soldadas. El diagrama de la viga soldada se muestra en la Fig. 21. Este problema de optimización contiene 4 variables de decisión, como la altura de la barra \(({z}_{3} o t)\), el espesor de la barra \(({ z}_{4} o b)\), el espesor de la soldadura \(({z}_{1} o h)\) y la longitud de la parte conectada a la barra, \(( {z}_{2} o l ).\) Se define la siguiente fórmula matemática para diseñar este problema.

donde \(\tau \left( {\vec{z}} \right) = \sqrt {(\tau^{\prime } )^{2} + 2\tau^{\prime}\tau^{\prime \prime } \frac{{z_{2} }}{2R} + (\tau^{\prime \prime } )^{2} } , \tau^{\prime} = \frac{P}{{\ sqrt 2 z_{1} z_{2} }}, \tau^{\prime \prime } = \frac{MR}{J}\)

donde \(P=6000lb, L=14in, E=30*{10}^{6}psi, G=12*{10}^{6}psi, {\tau }_{max}=\mathrm{13 600 }psi, {\sigma }_{max}=\mathrm{30,000}psi, {\delta }_{max}=0.25in\).

Problema de diseño de vigas soldadas.

La Tabla 19 muestra los resultados de una comparación del AZOA con varios algoritmos metaheurísticos que emplean la misma función de penalización. Los resultados demuestran que el método AZOA tiene un rendimiento superior en la localización de los valores óptimos para el diseño de vigas soldadas.

En los sistemas mecánicos, una de las piezas clave de la caja de cambios es el reductor de velocidad, y se puede aplicar para numerosos propósitos. El peso del reductor de velocidad se reducirá con 11 restricciones en este problema de optimización. Este problema tiene siete variables como ancho de cara \(b\left({z}_{1}\right)\), módulo de dientes \(m\left({z}_{2}\right)\), el número de dientes en el piñón \(x\left({z}_{3}\right)\), longitud del primer eje entre rodamientos \({l}_{1}\left({z}_{ 4}\right)\), longitud del segundo eje entre cojinetes \({l}_{2}\left({z}_{5}\right)\), el diámetro de los primeros ejes \({d} _ {1}\left({z}_{6}\right)\), y el diámetro de los segundos ejes \({d}_{2}\left({z}_{7}\right)\) como se muestra en la Fig. 22. La formulación matemática del problema del reductor de velocidad es la siguiente.

Problema de diseño del reductor de velocidad.

La Tabla 20 muestra los resultados del algoritmo propuesto y su comparación con otros algoritmos, como GWO, GSA, PSO, SSA, TSA, MVO y LFD en este problema. Los resultados de la simulación revelan que el método propuesto, es decir, AZOA, superó a otros algoritmos.

El propósito principal de este problema estructural es minimizar la relación de engranajes para la fabricación de un tren de engranajes compuesto como se muestra en la Fig. 23.

Problema de diseño del tren de engranajes.

El objetivo es determinar el número óptimo de dientes para cuatro engranajes de un tren con el fin de minimizar la relación de transmisión. Las variables de diseño que son iguales al número de dientes de los engranajes son: \({n}_{A}\left({z}_{1}\right)\), \({n}_{B} \left({z}_{2}\right)\), \({n}_{C}\left({z}_{3}\right)\) y \({n}_{D }\izquierda({z}_{4}\derecha)\). La formulación matemática del problema de diseño del tren de engranajes es la siguiente.

Los resultados del algoritmo propuesto, a saber, AZOA, y su comparación con otros algoritmos metaheurísticos como MFO35, ABC76, PSO32, CS77, MVO25, TSA41 y WOA36 se proporcionan en la Tabla 21. Los resultados de la simulación en la Tabla 21 muestran que AZOA supera al algoritmo comparado.

El objetivo del diseño de armaduras es reducir el peso de las construcciones de barras. La Figura 24 presenta la estructura gráfica de este problema. El volumen de una armadura de 3 barras cargada estáticamente debe reducirse mientras se mantienen las restricciones de tensión \(\left(\upsigma \right)\) en cada miembro de la armadura. El objetivo principal es encontrar las mejores áreas transversales, \({\mathrm{A}}_{1}\left({\mathrm{z}}_{1}\right)\) y \({\ mathrm{A}}_{2}\left({\mathrm{z}}_{2}\right)\). La formulación matemática de este problema de diseño es la siguiente.

Problema de diseño de una armadura de tres barras.

La Tabla 22 muestra los resultados del algoritmo propuesto y su comparación con otros algoritmos, como GOA38, MBA79, PSO-DE78, SSA37, MVO25, TSA41 y AO43 en este problema. Los resultados demuestran que el método propuesto, es decir, AZOA, superó a los algoritmos comparados.

La energía eólica es la energía eléctrica generada aprovechando el viento a través de molinos de viento o turbinas eólicas. Es uno de los tipos más destacados de fuentes de energía renovable, ya que es abundante y está presente en todas partes. Esta energía, cuando se usa adecuadamente, puede ayudarnos a crear mucha electricidad. La energía eólica ha adquirido recientemente popularidad en respuesta a la creciente demanda de electricidad. La producción total de energía de un parque eólico se puede maximizar empleando las turbinas eólicas en la mejor posición posible. Posicionar un aerogenerador en un parque eólico es una operación difícil ya que deben tenerse en cuenta aspectos como la pérdida de estela provocada por los aerogeneradores aguas arriba a los aerogeneradores aguas abajo. Minimizar la pérdida de estela para aumentar la potencia de salida plantea un desafío para varios algoritmos de optimización aplicados a este problema de optimización de diseño. Por lo tanto, en esta sección, se emplea el algoritmo AZOA para encontrar la ubicación óptima de las turbinas eólicas y maximizar la producción total de energía con el costo mínimo por kilovatio. Se realizan dos casos de estudio diferentes como son: velocidad de viento constante (CWS) con dirección de viento variable (VWD) y velocidad de viento variable (VWS) con dirección de viento variable (VWD). Los resultados experimentales se comparan con estudios realizados empleando L-SHADE80, GA81, GA82, GWO83, BPSO-TVAC84, RSA85 y SBO86. El modelado matemático del problema de diseño de un parque eólico se aborda de la siguiente manera.

A medida que el viento pasa a través de una turbina, la velocidad del viento disminuye y la fuerza de la turbulencia aumenta, dejando una estela detrás de la turbina. La estela no solo sigue moviéndose río abajo, sino que también se infla lateralmente. Las turbinas ubicadas aguas abajo generan menos energía debido al efecto de estela. El modelo de decaimiento de estela lineal de Jensen87,88 se utiliza en este estudio para el cálculo de la velocidad del viento en la zona de estela. La figura 25 muestra el esquema del modelo de estela lineal. La velocidad del viento en la zona de la estela se estima utilizando el supuesto de que se conserva el impulso en la estela. La velocidad del viento en la región de la estela está dada por:

donde w denota el efecto de estela, \({w}_{0}\) denota la velocidad del viento original sin tener en cuenta ningún impacto de estela, a denota el factor de inducción axial, \({\beta }_{k}\) denota la constante de arrastre en relación con la turbina ktℎ, \({z}_{i,j}\) es la distancia entre la \({i}\)ésima y la \({j}\)ésima turbina, \ ({r}_{k1}\) es el radio del rotor aguas abajo, \({h}_{k}\) es la altura del buje de la \({k}\)ésima turbina, \({z}_{ 0}\) denota la rugosidad de la superficie del parque eólico, \({C}_{r}\) es el coeficiente de empuje del rotor de la turbina eólica.

Modelo de estela lineal de Jensen.

Cuando una sola turbina encuentra numerosas estelas, se cree que la energía cinética de la estela combinada es equivalente al total de los déficits de energía cinética.

La velocidad resultante de \({i}\)ésima turbina aguas abajo de \({N}_{x}\) turbinas está dada por:

donde \({w}_{ik}\) denota la velocidad del viento de la \({i}\)ésima turbina bajo el impacto de la \({k}\)ésima turbina. Para el modelo de estela lineal, la región de la estela es cónica y el radio de la zona de la estela se define como el radio de influencia de la estela determinado por:

La potencia de salida de \({i}\)ésima turbina en \(kW\) viene dada por:

donde \(\rho\) representa la densidad del aire y \({C}_{p}\) es la eficiencia del rotor.

La potencia total de salida de un parque eólico con \(N\) turbinas se calcula mediante la ecuación. (29).

dónde

El costo por \(kW\) de la potencia de salida se calcula mediante:

dónde

La eficiencia del parque eólico se calcula mediante la fórmula:

donde \({P}_{i,max}\) representa la potencia máxima de salida de la \({i}\)ésima turbina en función de la velocidad máxima del viento \({w}_{i, max}\ ) si no hubiera efecto de estela y \({f}_{m}\) representa la probabilidad de una velocidad de viento particular desde una dirección específica.

Este trabajo se basa en un análisis de un parque eólico cuadrado de 10 × 10 con 100 lugares posibles para aerogeneradores. Todos los aerogeneradores se desplegaron en el centro del cubículo. La dimensión de cada cubículo es de 200 m, como se representa en la Fig. 26. La elección del cubículo, que era igual al diámetro del rotor, evitaba que la estela golpeara a las demás turbinas cuando se colocaba en columna con otra columna adyacente. . Los parámetros para el parque eólico empleados en este estudio se enumeran en la Tabla 23. El método propuesto, a saber, el algoritmo AZOA, se implementa en ambos casos de estudio (CWS con VWD y VWS con VWD), y los resultados se comparan con otros algoritmos existentes. , incluidos L-SHADE80, GA81, GA82, GWO83, BPSO-TVAC84, RSA85 y SBO86. Cada algoritmo se modela empleando un tamaño de población de 200 y un número máximo de 100 iteraciones. El límite superior y el límite inferior se asignan como 1 y 0, respectivamente, mientras que el tamaño del problema se asigna a 100.

Topología de parques eólicos.

En el primer caso, se asumió un CWS de 12 m por segundo con la misma posibilidad de flujo de viento desde cada dirección investigando 36 ángulos que van desde \({0}^{^\circ }\) a \({360}^ {^\circ }\) grados en \({10}^{^\circ }\) incrementos. El AZOA propuesto se emplea en este caso, y los resultados del algoritmo AZOA y su comparación con los otros algoritmos metaheurísticos se proporcionan en la Tabla 24. En la Tabla 24, se observa que AZOA supera al algoritmo comparado para la misma función objetivo. La Figura 27 muestra la configuración óptima del parque eólico identificada por AZOA. El algoritmo AZOA propuesto genera una potencia anual de 17.920 kW a partir de 40 turbinas a un costo por kW de 0,0015340 y una eficiencia del 86,42%.

Configuración óptima de parque eólico por AZOA para CWS con VWD.

Para verificar la eficiencia del método propuesto para la ubicación óptima de un parque eólico en el caso 2, se asumen VWS y VWD. En este caso, se consideran 8 m/s, 12 m/s y 17 m/s con 36 ángulos que van de 0° a 360° grados en incrementos de 100°. En este caso se emplea el AZOA propuesto, y los resultados del algoritmo AZOA y su comparación con los otros algoritmos metaheurísticos se proporcionan en la Tabla 25. En la Tabla 25, se observa que AZOA supera al algoritmo comparado para la misma función objetivo. La Figura 28 muestra la configuración óptima del parque eólico identificada por AZOA. El algoritmo AZOA propuesto genera una potencia anual de 32.556 kW a partir de 39 turbinas a un coste/kW de 0,00083218 y una eficiencia del 86,78 %.

Configuración óptima de parque eólico de AZOA para VWS con VWD.

Finalmente, los resultados obtenidos revelan la eficiencia y validez del algoritmo AZOA en la configuración óptima de turbinas en un parque eólico para ambos casos de estudio, ya que el algoritmo proporcionó mejores resultados en comparación con otros algoritmos.

En el área de los sistemas de potencia, el ELD es uno de los problemas destacados atraídos por los investigadores. El objetivo principal del problema es asignar la energía requerida entre las unidades generadoras disponibles de la manera más eficiente posible para reducir los costos generales de combustible mientras se mantiene la demanda de carga y las diversas limitaciones operativas de todas las unidades de energía89,90. El costo total de combustible de los generadores generalmente se expresa mediante una función cuadrática de la siguiente manera:

donde \({u}_{i},v, {w}_{i}\) son los coeficientes de costo del \({i}\)ésimo generador, \({F}_{i}\) es el costo de \({i}\) generador, \({p}_{i}\) es la potencia generada de \({i}\)th generador y \(N\) es el total de generadores. Por lo general, el suministro agregado de energía producida por los generadores es más que suficiente para satisfacer tanto la cantidad requerida como la pérdida total de la línea de transmisión. Por lo tanto, es necesario satisfacer los siguientes criterios de igualdad:

Aquí, \({p}_{d}\) y \({p}_{l}\) representan la demanda y la pérdida total de transmisión de la línea, respectivamente. La fórmula de pérdida de Kron se emplea para determinar la pérdida de transmisión en la forma que se muestra a continuación.

En este contexto, los términos \(B\) \({B}_{ij}, {B}_{i0}\) y \({B}_{00}\) se denominan coeficientes de pérdida. La potencia total producida por los generadores está limitada por su respectiva potencia activa máxima \({p}_{max}\) y la potencia mínima \({p}_{min}\) debido a las capacidades y limitaciones de los generadores. . Como resultado, cada generador debe cumplir con los criterios a continuación.

Sea \({F}_{i}\) el costo de producir energía en el \({i}\)ésimo generador. Entonces, el costo total \(C\) se demarca como \(\sum_{i=1}^{N}{F}_{i}\). La función de costo está influenciada principalmente por la potencia real generada \({p}_{i}\). Por lo tanto, \({p}_{i}\) es la única variable utilizada para estimar el costo individual \({F}_{i}\) de las unidades generadoras y el costo total \(C\) se puede articular como \(\sum_{i=1}^{N}{F}_{i}\left({p}_{i}\right)\).

La estructura de un sistema IEEE-30 con seis generadores se ilustra en la Fig. 29. En la Tabla 26, los coeficientes de costo \(({u}_{i}\), \({v}_{i}\) y Se reportan \({w}_{i})\) y las restricciones límite (\({p}_{imin}\), \({p}_{imax})\) de los generadores. En la Tabla 27, se proporciona la matriz de coeficientes B para el sistema especificado. El problema planteado se resuelve a través de AZOA para determinar el despacho de carga más rentable para múltiples cargas distintas de 600 MW, 700 MW y 800 MW. Varios algoritmos bien conocidos se comparan con AZOA, incluida la iteración lambda91 y la programación cuadrática92, GA93 y PSO94. Las tablas 28, 29 y 30 muestran los resultados de la comparación de algoritmos para necesidades de 600 MW, 700 MW y 800 MW, respectivamente. De estas Tablas, se observa que el algoritmo AZOA propuesto proporcionó el mejor costo de combustible entre todos los algoritmos comparados.

Estructura de un sistema IEEE de 30 buses.

Este estudio ha desarrollado un novedoso algoritmo metaheurístico bioinspirado, a saber, AZOA, inspirado en el comportamiento social de las cebras americanas en la naturaleza. La inspiración principal para este algoritmo propuesto es el carácter social único y fascinante y el ejercicio de liderazgo de las cebras americanas en la naturaleza, que maneja a las cebras bebé para que abandonen la manada antes de la madurez y se unan a una manada separada sin relaciones familiares. Este proceso de salida del grupo impide que los padres cebra se reproduzcan con sus crías para garantizar la diversidad en AZOA. De igual forma, la convergencia está asegurada por el ejercicio de liderazgo en cebras americanas para dirigir la velocidad y dirección del grupo. El concepto AZOA propuesto ha sido modelado y diseñado en cinco fases simples para una fácil implementación y un rendimiento superior. Para evaluar la eficiencia del algoritmo AZOA, se tienen en cuenta las funciones de referencia CEC-2005, CEC-2017 y CEC-2019 en comparación con varios algoritmos evolutivos sobresalientes existentes y más recientes. Los resultados de la simulación y el análisis estadístico revelan que AZOA es capaz de alcanzar las soluciones óptimas para funciones máximas de referencia mientras mantiene un buen equilibrio entre exploración y explotación. Además, se ha empleado el análisis de sensibilidad para acceder al rendimiento del AZOA propuesto. Además, la implementación de AZOA para resolver varios problemas de optimización de diseño de ingeniería aseguró la solidez del algoritmo propuesto en problemas de optimización del mundo real. Aunque el AZOA propuesto ha ofrecido un rendimiento superior en la mayoría de las funciones de referencia examinadas en este artículo, la superioridad de AZOA no es notable al manejar algunos problemas multimodales y compuestos frente a los algoritmos clásicos, y también obtuvo resultados mediocres frente a algoritmos contemporáneos como FFA. , MGO, AVOA y GTO. Por lo tanto, varias modificaciones, como la implementación de operadores de aprendizaje, la introducción de parámetros de peso adaptativos y el diseño de las versiones binaria y multimodal, son el alcance del futuro trabajo de investigación del algoritmo AZOA.

Todos los datos generados o analizados durante este estudio se incluyen en este artículo.

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Este trabajo de investigación está financiado por la Universidad VIT.

Instituto de Tecnología de Vellore, Vellore, Tamil Nadu, 632014, India

Sarada Mohapatra y Prabhujit Mohapatra

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SM: Conceptualización, Metodología, redacción—borrador original. PM: Conceptualización, Metodología, Supervisión, redacción—revisión y edición.

Correspondencia a Prabhujit Mohapatra.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Mohapatra, S., Mohapatra, P. Algoritmo de optimización cebra estadounidense para problemas de optimización global. Informe científico 13, 5211 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-31876-2

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Recibido: 11 enero 2023

Aceptado: 20 de marzo de 2023

Publicado: 30 de marzo de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-31876-2

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